Metode Bisection

LAPORAN PRAKTIKUM PERTEMUAN I

METODE NUMERIK

METODE BISECTION

Oleh

     Nama                                  : Sri Fitriyanti

     NPM                                   : F1A015033

Dosen Pengampuh                          : Zulfia Memi Mayasari, S.Si, M.Si

Asisten Praktikum               : 1. Redo Ramanda                  (F1A014058)

  2. Dian Utami                        (F1A014011)

  3. Yeni Restiani                     (F1A014035)

LABORATORIUM MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BENGKULU

2017

PERTEMUAN KE I       

METODE BISECTION

1.1    PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

             Dalam persoalan matematika beberapa dapat diselesaikan secara analitis (bisa menghasilkan solusi eksak), adapun yang tidak. Sistem persamaan non – linier berukuran besar adalah contoh model yang seringkali tidak dapat diselesaikan secara analitis. Diperlukan teknik atau cara yang lebih iteratif untuk meyelesaikannya. Teknik ini disebut metode numerik. Metode numerik adalah bagian dari ilmu matematika khususnya matematika rekayasa yang menggunakan bilangan untuk menirukan proses matematik yang selanjutnya proses matematik yang telah dirumuskan ini digunakan untuk menyelesaikan masalah yang ada.

              Metode numerik memiliki banyak metode penyelesaian yang salah satunya adalah metode bisection. Metode Bisection atau metode bagi dua adalah salah satu jenis metode pencarian akar dimana selang/range selalu dibagi dua atau membagi range menjadi 2 bagian. Pada Metode Bisection ini jika suatu fungsi berubah tanda pada suatu selang, maka nilai fungsi dihitung pada titik tengah, kemudian lokasi akar ditentukan sebagai titik tengah selang bagian terjadinya perubahan tanda. Metode bagi dua ini didasarkan pada teorema nilai antara fungsi kontinu, yaitu bahwa suatu selang [a,b] harus mengandung f(x) = 0, bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda.

             Metode Bisection adalah membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung akar dan membuang bagian yang tidak mengandung akar. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.

B.     Rumusan Masalah

1.      Bagaimana metode penyelesaian persamaan atau mencari akar persamaan non linier khususnya menggunakan metode bagi dua?

2.      Bagaiamana cara menggunakan metode bagi dua untuk menyelesaikan masalah yang diberikan?

C.     Tujuan

1.      Memahami beberapa metode penyelesaian persamaan atau mencari akar persamaan non linier khususnya menggunakan metode bagi dua.

2.      Dapat menggunakan metode tersebut untuk menyelesaikan masalah yang diberikan.

                                                                                       

1.2    LANDASAN TEORI

            Metode numerik untuk mendapatkan harga x untuk f(x) = 0  disebut METODE BISECTION. Tahap pertama proses adalah menetapkan nilai sembarang a dan b sebagai batas segmen nilai fungsi yang dicari. Batasan a dan b memberikan harga bagi fungsi f(x) untuk x = a dan x = b. Langkah selanjutnya adalah memeriksa apakah f(a)×f(b) < 0. Apabila terpenuhi syarat tersebut, berarti terdapat akar fungsi dalam segmen tinjauan. Jika tidak demikian, kembali harus ditetapkan nilai a dan b sedemikian rupa sehingga terpenuhi ketentuan perkalian f(a)×f(b) < 0. Dengan rumusan m = (a+b)/2, diperiksa apakah nilai mutlak f(m) < 10-6 (batas simpangan kesalahan). Jika benar, nilai x = m adalah solusi yang dicari. Jika tidak terpenuhi, ditetapkan batasan baru dengan mengganti nilai b = m apabila f(a)*f(m) < 0, dan mengganti a = m bila f(a)×f(m) > 0; proses menemukan m baru dilakukan seperti prosedur yang telah dijelaskan.

Gambar 1. Penentuan nilai tengah m metode bisection

Metode Bisection adalah salah satu kelas metode Pengelompokan, karena prosedur untuk mendapatkan nilai x untuk f(x) = 0 dilakukan melalui pendekatan kelompok akar. Metode ini tidak sepenuhnya memanfaatkan data f(x) bagi penentuan nilai x. Misalnya, tidak digunakannya ukuran relatif f(a) dan f(b), karena umumnya jika f(a) < f(b) dalam nilai mutlaknya, maka akar persamaan akan terletak lebih dekat ke f(a), seperti dijelaskan di Gambar 1. Salah satu cara efektif mendapatkan nilai m ini adalah menghubungkan f(a) dan f(b) dengan garis lurus dan perpotongan garis ini dengan absis x merupakan nilai m (Sutedjo, 2012).

Metode interval bagi-dua atau disebut juga metode interval tengah adalah salah satu cara yang sering digunakan untuk mencari suatu akar. Misalkan diketahui bahwa f(x) = 0 memiliki satu akar antara x = a dan x = b ; maka f(a) dan f(b) memiliki tanda berlawanan (diasumsikan bahwa grafik f(x) adalah menerus antara a dan b) sekarang kita lihat bahwa c adalah pertengahan antara a dan b , yaitu c = (a+b), dan menghasilkan f(c). Jika f(c) memiliki tanda yang sama seperti f(a), maka akarnya terletak antara c dan b; atau kemungkinan lain akarnya terletak antara a dan c. Kemudian dikurangi interval dalam menentukan letak akar menjadi  setengah dari lebar rentang aslinya. Ulangi proses tersebut, pengurangan interval menjadi  1/4 , 1/8, 1/16, .... sampai dapat menentukan akarnya sesuai dengan keakuratan yang diinginkan (Gunaryati, 2013).

Kurung akar fungsi di antara dua batas, lalu paruh batas itu terus menerus sampai batas itu sedemikian sempit dan dengan demikian lokasi akar fungsi diketahui dengan keakuratan tertentu (Fachruddin, 2012).

Untuk menggunakan metode bisection, terlebih dahulu ditentukan batas  bawah (a) dan batas atas (b). Kemudian dihitung nilai tengah :

              

Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar. Secara matematik, suatu range terdapat akar persamaan bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau dituliskan . Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah dan batas atas di perbaharui sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar (Ivanky, 2009).

Didalam metode bisection juga terdapat pengulangan atau iterasi sehingga berikut algoritma dan langkah – langkah dalam metode bisection secara singkat :

Algoritma :

Masukan : dan epsilon

Keluaran : akar

Langkah-langkah :

1.   

2.    untuk iterasi =

    untuk

    

3.    .

4.   

5.    Jika berarti akar berada pada selang  maka b:=T, jika tidak a:=T

6.    Jika  maka estimasi . Selesai

7.    Ulangi kembali ke langkah 1.

                                                                                          (Agustina, 2017)

1.3    ALGORITMA DAN FLOWCHART

A.    Algoritma

1.    Input : Fungsi f(x), a, b, epsilon, m (banyaknya iterasi)

2.    Proses:

1.    bm:=am;cm:=bm

2.    untuk iterasi= 1,2,...,m

untuk i=m-1,m-2,...,1

bi:=ai+ci

3.    Jika f(a).f(b) > 0

4.    Hitung

5.    Jika f(x).f(a)<0 berarti akar berada pada selang [a,T] maka b:=T,jika tidak a:=T

6.    Jika |b-a|<epsilon maka estimasi akar :=T. Selesai

7.    Ulangi kembali ke langkah 1.

3.    Output : Akar

B.     Flowchart

		START

 

 

                 Gambar 2. Flowchart Metode Bagi Dua

1.4    TELADAN DAN PENERAPAN

A.    Teladan

1.      Cari akar dari , pada interval  dengan menggunakan metode bagi dua.

2.      Tentukan akar- akar dari f(x)= menggunakan 2 taksiran, ₁= 2,9,  ₂= 3,1 .

3.      Gunakan matlab untuk mengimplementasikan algoritma untuk menampilkan hampiran akar positif fungsi f(x) = dengan interval .

4.      Carilah lokasi akar pada fungsi f(x) =   atau dengan kata lain nilai  yang jika disubstitusikan atau dimasukkan ke f(x) = 0.

a.       Carilah menggunakan metode analitik pemfaktoran dan rumus abc.

b.      Carilah menggunakan metode bagi dua, sampai iterasi pada selang .

B.     Listing Program

1.    Listing utama

Gambar 3. Listing Utama Metode Bisection

C.     Listing Fungsi

1.      Listing fungsi soal 1

Gambar 4. Listing fungsi soal 1

2.      Listing fungsi soal 2

Gambar 5. Listing fungsi soal 2

3.      Listing fungsi soal 3

Gambar 6. Listing fungsi soal 3

4.      Listing fungsi soal 4

Gambar 7. Listing fungsi soal 4

D.    Output

1.      Output soal teladan 1

Gambar 8. Output soal teladan 1

2.      Output soal teladan 2

Gambar 9. Output soal teladan 2

3.      Output soal teladan 3

Gambar 10. Output soal teladan 3

4.      Output soal teladan 4

Gambar 11. Output soal teladan 4

1.5    HASIL DAN PEMBAHASAN

A.    Hasil

1.      Hasil soal 1

Gambar 12. Hasil soal 1

2.      Hasil soal 2

Gambar 13. Hasil soal 2

3.      Hasil soal 3

Gambar 14. Hasil soal 3

4.      Hasil soal 4

Gambar 15. Hasil soal 4

B.     Pembahasan

             Pada soal teladan nomor 1 dengan f(x)=  tersebut diatas  diperintahkan untuk mencari akar persamaan dengan menggunakan matlab dan dengan selang [1,2] menggunakan metode bisection. Dengan menggunakan Matlab, pada editor Matlab buatlah syntax untuk metode bagi dua seperti pada gambar 3 yang merupakan listing program utama. Kemudian buka lebar baru editor lalu buatlah syntax listing fungsi. Lalu save kedua lembar kerja editor yang telah berisikan syntax –syntax tersebut. Untuk memanggil syntax yang telah dibuat tersebut, buka command window. Lalu pada command window tuliskan syntax untuk memanggil fungsi yaitu nama file(‘nama fungsi’,batas bawah,batas atas). Untuk memanggil soal teladan nomor 1 tuliskan syntax pada command window yaitu pipit(‘r’,1,2) seperti pada gambar 4. Setelah run kan keluar hasil akar yaitu 1,3647 seperti pada gambar 12 dan dapat dilihat tabel iterasi pada gambar 8.

             Pada soal teladan nomor 2 dengan f(x)= tersebut diatas  diperintahkan untuk mencari akar persamaan dengan menggunakan matlab dan dengan selang [2.9,3.1] menggunakan metode bisection. Dengan menggunakan Matlab, pada editor Matlab buatlah syntax untuk metode bagi dua seperti pada gambar 3 yang merupakan listing program utama. Kemudian buka lebar baru editor lalu buatlah syntax listing fungsi. Lalu save kedua lembar kerja editor yang telah berisikan syntax –syntax tersebut. Untuk memanggil syntax yang telah dibuat tersebut, buka command window. Lalu pada command window tuliskan syntax untuk memanggil fungsi yaitu nama file(‘nama fungsi’,batas bawah,batas atas). Untuk memanggil soal teladan nomor 1 tuliskan syntax pada command window yaitu pipit(‘g’,2.9,3.1) seperti pada gambar 5. Setelah run kan keluar hasil akar yaitu 3,0035 seperti pada gambar 13 dan dapat dilihat tabel iterasi pada gambar 9.

             Pada soal teladan nomor 3 dengan f(x) = tersebut diatas  diperintahkan untuk mencari akar persamaan dengan menggunakan matlab dan dengan selang [0.4,1.2] menggunakan metode bisection. Dengan menggunakan Matlab, pada editor Matlab buatlah syntax untuk metode bagi dua seperti pada gambar 3 yang merupakan listing program utama. Kemudian buka lebar baru editor lalu buatlah syntax listing fungsi. Lalu save kedua lembar kerja editor yang telah berisikan syntax –syntax tersebut. Untuk memanggil syntax yang telah dibuat tersebut, buka command window. Lalu pada command window tuliskan syntax untuk memanggil fungsi yaitu nama file(‘nama fungsi’,batas bawah,batas atas). Untuk memanggil soal teladan nomor 1 tuliskan syntax pada command window yaitu pipit(‘l’,0.4,1.2) seperti pada gambar 6. Setelah run kan keluar hasil akar yaitu 0,8668 seperti pada gambar 14 dan dapat dilihat tabel iterasi pada gambar 10.

             Pada soal teladan nomor 4 dengan f(x) =  tersebut diatas  diperintahkan untuk mencari akar persamaan dengan menggunakan matlab dan dengan selang [2,9] menggunakan metode bisection. Dengan menggunakan Matlab, pada editor Matlab buatlah syntax untuk metode bagi dua seperti pada gambar 3 yang merupakan listing program utama. Kemudian buka lebar baru editor lalu buatlah syntax listing fungsi. Lalu save kedua lembar kerja editor yang telah berisikan syntax –syntax tersebut. Untuk memanggil syntax yang telah dibuat tersebut, buka command window. Lalu pada command window tuliskan syntax untuk memanggil fungsi yaitu nama file(‘nama fungsi’,batas bawah,batas atas). Untuk memanggil soal teladan nomor 1 tuliskan syntax pada command window yaitu pipit(‘k’,2,9) seperti pada gambar 9. Setelah run kan keluar hasil akar yaitu 3.7500 seperti pada gambar 15 dan dapat dilihat tabel iterasi pada gambar 11.

1.6    KESIMPULAN

Metode bisection atau bagi dua merupakan metode yang sangat mudah kerena kita hanya perlu membagi interval yang ada menjadi dua untuk menemukan akar yang mendekati.  Lalu kita peroleh nilai x baru. Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar. Secara matematik, suatu range terdapat akar persamaan bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau dituliskan . Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah dan batas atas di perbaharui sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar.

Menyelesaikan suatu masalah dengan menggunakan metode bisection yaitu jika diketahui batas atas dan batas bawah dari suatu persamaan maka kita jumlahkan batas btas tersebut lalu dibagi 2 untuk mendapatkan nilai x baru. Untuk nilai x baru kita harus mengecek perubahan tanda. Jika tanda berlawanan dengan slaah satu batas tadi, maka akar berda diantara keduanya. Lalu lanjutkan hingga mememnuhi iterasi yang didinginkan. Jika menyelesaikan masalah dnegan menggunakan metode bisection pada Matlab maka kita perlu mengetahui batas atas dan batas akhir yang juga prosesnya memerlukan beberapa iterasi.

DAFTAR PUSTAKA

Agustina, Dian. 2017. Modul Praktikum Metode Numerik. Bengkulu: Universitas Bengkulu.

Fachruddin, Imam. 2012. Metode Numerik. http://staff.fisika. ui. ac.id/imamf/ metodenumerik.pdf. Diakses pada 8 April 2017 pukul 22.53 WIB.

Fia. 2012. Persamaan Non Linear dalam Matlab . diakses pada http://www.navelmangelep .files.word press.com / 2012  /11/Mathlab.pdf. Diakses pada 8 April 2017 pukul 22.50 WIB.

Ivangky. 2009. Penggunaan Matlab dalam Metode Numerrik. Informatika Bandung. Bandung.

Sutedjo. 2012. Bahan Kuliah Metoda Numerik. http:// sutedjo. staff. gunadarma. ac.id/ Downloads/.../bahan+kuliah+ke+3+metoda+numerik.pdf. Diakses pada 8 April 2017 pukul 22.45 WIB.